تحلیل آزاد و عدد نظم کاستلنوو-مامفورد

در این پایان نامه، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع در حلقه چندجمله ای های s=k[x1, …, xn] را مورد مطالعه قرار می دهیم. با توجه به نتیجه جالب وفابل توجهی که از بایر و استیلمن به دست آمده است و نیز با توجه به تکنیک قطبی سازی، مساله دسته بندی ایدآل های همگن از حلقه s که دارای تحلیل خطی هستند، هم ارز با مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع است که دارای تحلیل خطی می باشند. در هر صورت، مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع که دارای تحلیل خطی می باشند، یک مساله خیلی مشکل به نظر می رسد. زیرا با توجه به قضیه ایگن-رینر، حل این مساله هم ارز با حل مساله دسته بندی ایدآل های (تک جمله ای خالی از مربع) از حلقه s می باشد که حلقه s/i کوهن-مکالی می باشد. شایان ذکر است که، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع از حلقه s، از یک سو در تناظر یک به یک با حلقه های استنلی-رایزنر از مجتمع های سادکی، و از سوی دیگر در تناظر با ایدآل های نسبت داده شده با ابر گراف ها هستند. این تناظر، ریاضی دانان را بر آن داشت تا از خواص ترکیبیاتی و هندسی این اشیا (مجتمع های سادکی و ابر گراف ها) استفاده کرده تا نتایج جبری دلخواه خود را استنتاج کنند. دسته بندی ایدآل های همگن ازحلقه s که دارای تحلیل 2-خطی هستند، توسط فروبرگ در سال 1990 انجام شد. فروبرگ دریافت که ایدآل متناظر با گراف ها، دارای تحلیل 2-خطی هستند اگر و تنها اگر گراف مورد نظر قطری باشد؛ بدین معنی که گراف مورد نظر دارای دور القایی با طول بیشتر از 3 نباشد. در [em, thvt, vtv, w]، مولفان تعمیمی جزئی از قضیه فروبرگ را ارائه نمودند. آنها تعریف های متفاوت از ابر گراف های قطری ارائه کردند و ثابت کردند که ایدآل متناظر با این دسته از ابر گراف ها، دارای تحلیل خطی می باشد. با در نظر گرفتن دورها به عنوان اشیا هندسی (مثلث بندی از خم های بسته)، در این پایان نامه تلاش می کنیم که مفهوم دورها در گراف ها را به مفهوم مثلث بندی شبه منیفلدها گسترش دهیم و یک تعمیم از قضیه فروبرگ را برای ابر گراف های از بعد بیشتر از 2 به دست آوریم. همه نتایج فصل های 4 و 5 و نیز برخی از نتایج فصل 3، نتایج جدید در این پایان نامه می باشند.